মনে করি, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=(\mathrm{x}+\mathrm{p})(\mathrm{sx}+9)$ 

                                       $={\mathrm{rsx}}^2+(\mathrm{rq}+\mathrm{sp})\mathrm{x}+\mathrm{pq}$

তাহলে, $\mathrm{a}=\mathrm{rs}, \mathrm{b}=\mathrm{rq}+\mathrm{sp}$ এবং $\mathrm{c}=\mathrm{pq}$

সুতরাং, $\mathrm{ac}=\mathrm{rspq}=\mathrm{rq}\times \mathrm{sp}$ এবং $\mathrm{b}=\mathrm{rq}+\mathrm{sp}$

এখন, $a{x}^2+bx+c$ আকারের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে, $x^2$ এর সহগ এবং পদ ধ্রুবক $c-$ এর গুণফলকে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যেন এদের বীজগণিতীয় যোগফল $x$ এর সহগ $b$ এর সমান হয় এবং $a$ ও $c$ এর গুণফলের সমান হয়।

$2x^2+11x+15$ রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে, $(2\times 15)=30$ কে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যার যোগফল $11$ এবং গুণফল $30$ 

$30$ এর উৎপাদক জোড়াসমূহ $1, 30 ,2, 15, 3, 10$ ও $5,6$ এর মধ্যে $5,6$ জোড়াটির যোগফল $5+6=11$ এবং গুণফল $5\times 6=30$

$\therefore 2{\mathrm{x}}^2+11\mathrm{x}+15=2{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+6\mathrm{x}+15$

                                  $=\mathrm{x}(2\mathrm{x}+5)+3(2\mathrm{x}+5)=(2\mathrm{x}+5)(\mathrm{x}+3)$

মন্তব্য : ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণের সময় $x^2+px+q$ এর $p,q$ এর ধনাত্মক ও ঋণাত্মক বিভিন্ন চিহ্নযুক্ত মানের জন্য যে নিয়ম অনুসরণ করা হয়েছে $a,b,c$ এর চিহ্নযুক্ত মানের জন্য একই নিয়ম অনুসরণ করতে হবে। এক্ষেত্রে $p$ এর পরিবর্তে $b$ এবং $q$ এর পরিবর্তে $(a\times c)$ ধরতে হবে।

উদাহরণ ৭। $2x^2+9x+10$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এখানে, $2\times 10=20$   [$x^2$ এর সহগ ও ধ্রুবক পদের গুণফল]

                এখন, $4\times 5=20$ এবং $4+5=9$

$\therefore 2x^2+9x+10=2x^2+4x+5x+10$

                               $=2x(x+2)+5(x+2)=(x+2)(2x+5)$

উদাহরণ ৮। $3x^2+x–10$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এখানে, $3\times (-10)=30$

                এখন, $(–5)\times 6=30$

$\therefore 3x^2+x-10=3x^3+6x–5x-10$

                            $=3x(x+2)–5(x+2)$

                            $=(x+2)(3x–5)$

উদাহরণ ৯। $4x^2-23x+33$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এখানে, $4\times 33=132$

                এখন, $(–11)\times (–12)=132$ এবং $(–11)+(–12)=-23$ 

$\therefore 4x^2-23x+33=4x^2-11x-12x+33$

                                 $=x(4x-11)-3(4x-11)$

                                 $=(4x-11)(x-3)$

উদাহরণ ১০। $9x^2-9x–4$

সমাধান : এখানে, $9\times (–4)=–36$

                এখন, $3\times (–12)=36$ এবং $3+(-12)=-9$

$\therefore 9x^2-9x–4=9x^2+3x-12x-4$

                            $=3x(3x+1)–4(3x+1)$

                            $=(3x+1)(3x- 4)$